Fórmulas de sumas de senos y cosenos.
Funciones trigonométricas de ángulos duplos.
Sean \(u\) y \(v\) dos ángulos cualquieras medidos en radianes o grados, entonces se cumple que:
$$\begin{array}
\mathrm{Fórmulas~de~ adición~ y ~sustracción}\\
\hline \cos{(u\textcolor{#ff0080}{\pm} v)}=\cos{u}\cos{v}\textcolor{#ff0080}{\mp} \sin{u}\sin{v}\\
\sin{(u\textcolor{#ff0080}{\pm}v)}=\sin{u}\cos{v}\textcolor{#ff0080}{\pm} \sin{v}\cos{u}
\end{array}$$
Tangente de la suma o diferencia de dos ángulos\(\tan{(u\pm v)}\).
De las expresiones para \(\sin{(u\pm v)}\) y \(\cos{\left(u\pm v\right)}\) aplicando identidades fundamentales se determinan expresiones para las demás funciones trigonométricas, por ejemplo,
$$\tan{\left(u\pm v\right)=\frac{\sin{(u\pm v)}}{\cos{(u\pm v)}}}=\frac{\sin{u}\cos{v}\pm\sin{v}\cos{u}}{\cos{u}\cos{v}\mp\sin{v}\sin{u}}$$
dividiendo numerador y denominador por \(\cos{u}\cos{v}\) y realizando operaciones se tiene,
$$\tan{\left(u+v\right)}=\frac{\tan{u}+\tan{v}}{1-\tan{u}\tan{v}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ \ \ \tan{\left(u-v\right)}=\frac{\tan{u}-\tan{v}}{1+\tan{u}\tan{v}}$$
Las otras funciones se determinan usando identidades reciprocas.
Seno y coseno del ángulo duplo.
De la expresión \(\cos{\left(w+x\right)}=\cos{w}\cos{x}-\sin{w}\sin{x}\), si \(w=x\) se tiene, $$\cos{2x}=\cos{\left(x+x\right)}=\cos{x}\cos{x}-\sin{x}\sin{x}$$ y por tanto, $$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$$ que también puede escribirse como \(\cos{2x}=1-2\sin^2{x}.\)
De la expresión \(\sin{(w+x)}=\sin{w}\cos{x}+\sin{x}\cos{w}\), si \(w=x\) se tiene que,
$$\sin{2x}=\sin{\left(x+x\right)}=\sin{x}\cos{x}+\sin{x}\cos{x}$$ que simplificando es,
Aplicando las identidades fundamentales a las expresiones del seno y coseno del ángulo duplo se determinan las demás funciones del ángulo duplo, así por ejemplo, $$\tan{2x}=\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}=\frac{2\sin{x}\cos{x}}{1-2\sin^2{x}}$$ que dividiendo numerador y denominador ente \(\cos^2{x}\) se transforma en,
Las demás funciones del ángulo duplo se determinan mediante el uso de identidades reciprocas. Además, mediante procedimientos análogos se pueden determinar las funciones del ángulo triplo o cualquier otro múltiplo entero para el ángulo.
Ejemplo. Determinar los valores numéricos exactos de las siguientes expresiones sin el uso de dispositivos electrónicos para \(\sin{120°} +2 \cos{45°}-2 \tan{240°}\).
Solución: escribiendo \(\sin{120°}=\sin{(90°+30°)}\) y \( \tan{240°}=\tan{(180°+60°)}\) y dado que \(\sin{(u+v)}=\sin{v}\cos{u}+\sin{u}\cos{v}\) se tiene, $$\sin90°\cos30°+\sin30°\cos90°+2\cos 45°-2\frac{\sin {180°}\cos{60°}+\sin{60°}\cos{180°}}{\cos{180°}\cos{60°}-\sin{180°}\sin{60°}}$$ \begin{align} \sin{120°} +2 \cos{45°}-2 \tan{240°}&=1\frac{\sqrt3}2+\frac12\left(0\right)+2\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)-2\frac{\frac{\sqrt3}2(-1)}{-1\left(\frac12\right)}\\ \sin{120°} +2 \cos{45°}-2 \tan{240°}&=\frac{\sqrt3}2+\sqrt2-2\sqrt3\\ \sin{120°} +2 \cos{45°}-2 \tan{240°}&=\frac{\sqrt3+2\sqrt2-4\sqrt3}{2}\\ \sin{120°} +2 \cos{45°}-2 \tan{240°}&=\frac{2\sqrt2-3\sqrt3}{2}≈-1.18 \end{align} Note que la respuesta en radical es exacta, más no así la respuesta en decimales.
Ejemplo. Determinar sin uso de dispositivo electrónico el valor exacto de \(\sin{210°}\cos{60°} +\cos{30°}\sin{60°}.\)
Solución: \(\sin{210°}=\sin{(180°+30°)}\) de donde aplicando fórmulas de adición se tiene,
\begin{align}
&\sin{180°}\cos{30°}+\sin{30°}\cos{180°}+\cos{30°}\sin{60°}\\
&0\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)(-1)=-\frac{1}{2}\end{align}
Ejemplo. Determinar los valores exactos para \(\sin{\left(u+v\right)}\), \(\cos{\left(u-v\right)}\) y \(\tan{(u+v)}\) dados:
$$\sin{u}=\frac{3}{5},\sin{v}=\frac{12}{13}$$
si además se sabe que \(u\) está en el primer cuadrante y \(v\) en el segundo.
Solución: como \(u\) esta en el primer cuadrante todas sus funciones son positivas, y dado que \(v\) está en el segundo cuadrante solo son positivos el seno y la cosecante,
$$\sin(u+v)=\sin{u}\cos{v}+\cos{u}\sin{v}$$
\begin{align}
&{\rm De} \sin{v}=\frac{12}{13}=\frac{y}{r}\Longrightarrow x=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5\\
&{\rm por~tanto}\cos{v}=-\frac{x}{r}=-\frac{5}{13}\\
&{\rm De}\sin{u}=\frac{3}{5}=\frac{y}{r}\Longrightarrow x=\sqrt{5^2-3^2}=4\\
&{\rm Por~tanto} \cos{u}=\frac{x}{r}=\frac{4}{5}~~{\rm de~donde}\\
&\sin(u+v)=\sin{u}\cos{v}+\cos{u}\sin{v}\\
&\sin{(u+v)}=\frac{3}{5}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{5}\left(\frac{12}{13}\right)\\
&\sin{(u+v)}=-\frac{3}{13}+\frac{48}{65}=\frac{33}{65}\\
&\cos{\left(u+v\right)}=\cos{u}\cos{v}-\sin{u}\sin{v}\\
&\cos{\left(u+v\right)}=\frac{4}{5}\left(-\frac{5}{13}\right)-\frac{3}{5}\left(\frac{12}{13}\right)\ =-\frac{4}{13}-\frac{36}{65}=-\frac{56}{65}\\
&\tan{\left(u+v\right)=\frac{\sin{(u+v)}}{\cos{(u+v)}}}=\frac{\frac{33}{65}}{-\frac{56}{65}}=-\frac{33}{65}\end{align}